理论力学

理论力学的核心不是把牛顿第二定律简单换一个符号，而是把力学问题提升为“自由度、约束、变分、对称性和守恒量”的统一结构。课件中最重要的主线是：从广义坐标出发，经过虚功原理和 Hamilton 原理，建立 Lagrange 方程，再通过 Legendre 变换进入 Hamilton 形式。

1. 从牛顿力学到分析力学

牛顿力学适合处理少数质点在直角坐标中的受力问题：

$$m_i{\ddot{\mathbf{r}}}_i={\mathbf{F}}_i.$$

但如果系统有约束，例如摆、刚体、滚动圆盘或粒子被限制在曲面上，直接写约束力会很麻烦。分析力学的策略是：先选取能自动满足约束的广义坐标，再对独立自由度写方程。

若系统自由度为 $s$，用

$$q_1,q_2,\cdots ,q_s$$

描述构型。第 $i$ 个质点的位置写作

$${\mathbf{r}}_i={\mathbf{r}}_i(q_1,\cdots ,q_s,t).$$

速度由链式法则得到：

$${\dot{\mathbf{r}}}_i=\sum _{\alpha =1}^s\frac{\partial {\mathbf{r}}_i}{\partial q_{\alpha }}{\dot{q}}_{\alpha }+\frac{\partial {\mathbf{r}}_i}{\partial t}.$$

这说明广义速度 ${\dot{q}}_{\alpha }$ 进入动能时通常是二次型。

2. 虚位移与广义力

虚位移是在固定时刻、满足约束的无穷小位移。若

$$\delta {\mathbf{r}}_i=\sum _{\alpha }\frac{\partial {\mathbf{r}}_i}{\partial q_{\alpha }}\delta q_{\alpha },$$

则外力虚功为

$$\delta W=\sum _i{\mathbf{F}}_i\cdot \delta {\mathbf{r}}_i=\sum _{\alpha }{Q}_{\alpha }\delta q_{\alpha },$$

其中

$$Q_{\alpha }=\sum _i{\mathbf{F}}_i\cdot \frac{\partial {\mathbf{r}}_i}{\partial q_{\alpha }}$$

称为广义力。广义力不一定具有普通力的量纲，它的量纲取决于广义坐标的量纲。

3. Lagrange 方程

定义 Lagrange 量

$$L(q,\dot{q},t)=T(q,\dot{q},t)-V(q,t).$$

对保守系统，真实运动使作用量

$$S[q]={\int }_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\mathrm{d}t$$

取驻值，即 $\delta S=0$。由分部积分并令端点变分为零，可得欧拉-拉格朗日方程：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\alpha }}-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha }}=0,\alpha =1,\cdots ,s.$$

若系统存在非保守广义力 $Q_{\alpha }$，则写成

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\alpha }}-\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha }}=Q_{\alpha }.$$

这就是理论力学中最常用的方程。

4. 一个典型例子：单摆

设单摆长度为 $l$，质量为 $m$，广义坐标为摆角 $\theta$。动能和势能为

$$T=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2,V=mgl(1-\cos \theta ).$$

因此

$$L=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2-mgl(1-\cos \theta ).$$

代入 Lagrange 方程：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m{l}^2\dot{\theta })+mgl\sin \theta =0,$$

即

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\sin \theta =0.$$

小角近似 $\sin \theta \approx \theta$ 下得到简谐振动：

$$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0.$$

5. 循环坐标与守恒量

若某个广义坐标 $q_{\alpha }$ 不显含于 Lagrange 量，即

$$\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha }}=0,$$

则

$$p_{\alpha }=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\alpha }}$$

为守恒量。这个 $p_{\alpha }$ 称为共轭动量。

如果 $L$ 不显含时间，则能量函数

$$E=\sum _{\alpha }{\dot{q}}_{\alpha }{p}_{\alpha }-L$$

守恒。对自然系统，若 $T$ 是速度的二次齐次函数且 $V$ 不含速度，则 $E=T+V$。

6. Hamilton 形式

Hamilton 形式通过 Legendre 变换把变量从 $(q,\dot{q})$ 换成 $(q,p)$。定义

$$p_{\alpha }=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{\alpha }},$$

以及 Hamilton 量

$$H(q,p,t)=\sum _{\alpha }{p}_{\alpha }{\dot{q}}_{\alpha }-L.$$

在正则坐标下，运动方程为

$${\dot{q}}_{\alpha }=\frac{\partial H}{\partial p_{\alpha }},{\dot{p}}_{\alpha }=-\frac{\partial H}{\partial q_{\alpha }}.$$

Hamilton 方程是相空间中的一阶方程组。它特别适合讨论正则变换、Poisson 括号和统计力学。

7. Poisson 括号

对任意两个相空间函数 $f(q,p,t)$ 与 $g(q,p,t)$，Poisson 括号定义为

$$\{f,g\}=\sum _{\alpha }\left(\frac{\partial f}{\partial q_{\alpha }}\frac{\partial g}{\partial p_{\alpha }}-\frac{\partial f}{\partial p_{\alpha }}\frac{\partial g}{\partial q_{\alpha }}\right).$$

任意力学量 $f$ 的演化满足

$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\{f,H\}.$$

若 $\partial f/\partial t=0$ 且 $\{f,H\}=0$，则 $f$ 是守恒量。

8. 解题流程

1. 判断自由度并选择广义坐标。
2. 写出位置、速度、动能和势能。
3. 构造 $L=T-V$。
4. 对每个广义坐标写 Lagrange 方程。
5. 寻找循环坐标和守恒量。
6. 若需要相空间描述，再转入 Hamilton 形式。

9. 复习问题

• 广义力为什么不一定具有普通力的量纲？
• Lagrange 方程中约束力为什么常常不显式出现？
• 循环坐标和守恒量有什么关系？
• Hamilton 量什么时候等于总能量？
• Poisson 括号如何表达守恒量条件？

10. 复习提纲

这门课的复习提纲已经并入正文。最稳妥的复习顺序就是：

约束与自由度 -> 广义坐标 -> 虚位移与虚功 -> Lagrange 方程 -> 守恒量 -> 小振动 -> Hamilton 形式 -> Poisson 括号 -> Hamilton-Jacobi

做题时不要跳步。先判断约束和自由度，再写 (L=T-V)，然后才谈守恒量、正则变量和小振动。真正容易丢分的地方通常不是公式忘了，而是自由度数错、坐标选坏，或者在还没找到平衡点时就硬做线性化。