自由玻色 CFT 与紧化

自由玻色场是二维 CFT 中最小的可计算模型之一。它既能展示 OPE、顶点算子和中心荷，也能作为弦世界面坐标场的基本例子。

1. 作用量与传播子

二维自由玻色场的欧氏作用量可写为

$$S=\frac{1}{4\pi }\int d^{2}z\partial X\bar{\partial }X.$$

它的基本两点函数通常归一化为

$$⟨X(z,\bar{z})X(w,\bar{w})⟩=-\ln |z-w{|}^2.$$

由于 $X$ 本身有零模问题，实际更常用的是导数字段 $\partial X$ 及其 OPE。

2. 能动张量与中心荷

自由玻色的能动张量为

$$T(z)=-\frac{1}{2}:\partial X\partial X:.$$

它对应中心荷

$$c=1.$$

这意味着每一个自由实玻色场都给二维 CFT 贡献一个单位中心荷。弦论中多个目标空间坐标场的中心荷会相加。

3. 顶点算子

动量为 $k$ 的顶点算子可写为

$$V_k(z,\bar{z})=:e^{ikX(z,\bar{z})}:.$$

其共形权重与动量平方有关。在简单归一化下，左、右权重满足

$$h=\bar{h}=\frac{k^2}{4}.$$

顶点算子是把世界面 CFT 数据连接到弦态谱的核心对象。

4. 紧化半径与 T 对偶

若 $X$ 是圆周紧化坐标，满足

$$X\sim X+2\pi R,$$

则谱中同时有动量数 $n$ 和缠绕数 $w$。左右动量可写成

$$p_L=\frac{n}{R}+wR,p_R=\frac{n}{R}-wR.$$

变换 $R\to 1/R$ 会交换动量和缠绕量子数，这就是 T 对偶的基本图像。

5. 复习检查表

• 能写出自由玻色场的作用量和两点函数。
• 能说明自由实玻色的中心荷为 $c=1$。
• 能解释顶点算子为什么对应动量态。
• 能区分紧化后的动量数和缠绕数。
• 能说明 T 对偶如何交换 $n$ 与 $w$。