进阶指标运算 - 废除矩阵空间的固定对应

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/339120822
• 发布日期: 2020-12-23
• 分类: 张量 / 指标运算 / 相对论

现在有重大更新了, 建议转到 Masaki Notation 了解一下.

序言

在初阶理论 Masaki Notation 中, 我们介绍了矢量空间, 对偶矢量空间, 张量的概念与重复指标求和约定(也称之为上下重复指标缩并).

初阶理论有一大特点就是: 我们将矢量与列矩阵绑定, 而对偶矢量与行矩阵绑定. 即将矢量空间看作列矩阵空间, 而对偶矢量空间看作行空间, 并要求只有 (1,1) 型张量才能写为矩阵.

但这样的做法其实只是为了给你一个从矩阵运算升级到指标运算的适应过程罢了.

事实上你发现量子力学中将算符解释为方矩阵, 左矢解释为行矩阵, 右矢解释为列矩阵的做法的根本原因也是如此. 因为量子力学也只是一门初级科目, 既然线性代数里面那些矩阵的运算你是已经懂了的, 它就没必要给你讲张量这些有的没的, 更何况量子力学里面只有 (1,0), (0,1), (1,1) 三种型号的张量, 这和矩阵空间简直是天造地设的一对.

一般碰到这种结构我反手就上狄拉克符号.

但当我们习惯了指标缩并的运算逻辑并接受了各式各样不同型张量的存在之后, 我们完全可以将这种分量运算当作底层逻辑而抛弃老旧的矩阵空间对应理论. 那么这个想法是否切实可行呢?

验证这个想法的可行性同时抛弃老旧的矩阵空间对应理论正是本文的任务.

目録

1. 矩阵空间对应的张量理论观点

2. 废除矩阵空间对应

2.1. 动机与具体做法 2.2. 举例分析 2.3. 结论

3. 进阶玩法总结

4. 固定的指标结构与对偶空间对应的伴随对象

4.1. 指标结构的绝对固定性 4.2. 对偶空间的伴随式 4.3. 对偶空间中对应的伴随对象一律用 $†$ 标记 4.4. 总结

5. 把基矢也加入求和约定?

1. 矩阵空间对应的张量理论观点

研究的对象是矢量空间 $V$, 其中定义有内积 $\left(\cdot ,\cdot \right):V\times V\to V$, 内积诱导出对偶空间 $V^{\ast }$.

其实就是研究一个内积空间啦, 内积空间就是定义了内积的矢量空间(线性空间).

而我们当时为了最直观地构建张量的指标运算理论用到了如下的对应观点:

(1). 取了一组标准正交基 $\left\{e^1,e^2\right\}$ 内积运算将诱导出对偶基 $\left\{e_1,e_2\right\}$, 其中 {e}_{i}=\frac{\partial }{\partial {e}^{i}. (2). 翻译成矩阵后基底们表现为 ${e}^{1}=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right],{e}^{2}=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right],{e}_{1}=\left[ 1,0 \right],{e}_{2}=\left[ 0,1 \right]$.(3). 分量表示张量, 即分别用 ${v}^{\mu },{v}_{\mu },{M}^{\mu }_{\nu }$来表示 $\left[ \begin{matrix} {v}^{1} \\ {v}^{2} \\ \end{matrix} \right]$, $\left[ {v}_{1},{v}_{2} \right]$ 与 $\left[ \begin{matrix} {M}^{1}_{1} & {M}^{1}_{2} \\ {M}^{2}_{1} & {M}^{2}_{2} \\ \end{matrix} \right]$. (4). 矩阵翻译要上下重复指标相连\left\{ \begin{align} & {a}^{\mu }{M}^{\nu }_{\mu }{c}_{\nu }={c}_{\nu }{M}^{\nu }_{\mu }{a}^{\mu }\to cMa\ne aMc \\ & {y}_{\mu }{\Lambda }_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }={y}_{\mu }{\left( {\Lambda }^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu }\to y{\Lambda }^{\text{T}x\ne y\Lambda x \\ \end{align} \right.. (5). 转置 {A}^{\mu }_{\nu }={\left( {A}^{\text{T} \right)}_{\nu }^{\mu }, 共轭 $A_{\nu }^{\mu }={\left(A_{\mu }^{\nu }\right)}^{\ast }$, 厄米共轭 ${\left(A_{\nu }^{\mu }\right)}^{\ast }={\left(A^{†}\right)}_{\mu }^{\nu }$.

我们当时为了将这个观点变得可信还花了不少精力去完整地解释了内部的对应逻辑. 这也导致我们当时强调说, 矩阵必须是 (1,1) 型张量, 而 (2,0) 与 (0,2) 型无法用矩阵表达.

但现在你已经能够接受指标运算的逻辑了, 所以我们就要用指标运算逻辑取代矩阵运算逻辑作为底层逻辑, 这样我们就进一步地抽象化了这个体系, 抽象作为代价给我们带来的是更高的操作自由度, 与更便捷的运算逻辑.

具体而言, 我们就是要删除列矩阵空间对应矢量空间, 行矩阵空间对应对偶矢量空间这个限制, 但翻译到矩阵还是要遵守上下重复指标要首尾相连这个约定, 事实上这个约定是万万不能删除的, 后面我们将看到这一点.

2. 废除矩阵空间对应

2.1. 动机与具体做法:

前面说受到 {\left( {A}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }={A}^{\mu }_{\nu }, ${\left(A_{\mu }^{\nu }\right)}^{\ast }=A_{\nu }^{\mu }$, ${\left(A^{†}\right)}_{\nu }^{\mu }={\left(A_{\mu }^{\nu }\right)}^{\ast }$ 的启发, 我们很自然的就会发现, 既然这套符号系统如此灵活, 其实也没必要将矢量空间对应列空间, 对偶矢量空间对应行空间吧? 我约定指标的上下控制共轭, 左右控制转置岂不是更好?

意思就是说左行右列, 无论 $M_{\nu }^{\mu },M_{\mu \nu }$ 还是 $M^{\mu \nu }$ 都将对应一个矩阵. 且左指标掌控行右指标掌控列. 即分别表达为 $\left[\begin{array}{cc}{M}_1^1& M_2^1\\ M_1^2& M_2^2\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}{M}_{11}& M_{12}\\ M_{21}& M_{22}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}{M}^{11}& M^{12}\\ M^{21}& M^{22}\end{array}\right]$.

但你可能会问: 那么矢量究竟对应行矩阵还是列矩阵呢?

我会告诉你: 完全不做绑定, 但若是涉及矩阵翻译就仍然要遵守上下指标首尾相连的逻辑.

2.2. 举例分析:

简洁起见, 二维空间意思意思就行, 你懂我意思就好了:

(1). {a}_{\mu }{b}^{\mu }={b}^{\mu }{a}_{\mu }=c\to \left\{ \begin{align} & \left[ {a}_{1},{a}_{2} \right]\left[ \begin{matrix} {b}^{1} \\ {b}^{2} \\ \end{matrix} \right]={a}_{1}{b}^{1}+{a}_{2}{b}^{2}=c \\ & \left[ {b}^{1},{b}^{2} \right]\left[ \begin{matrix} {a}_{1} \\ {a}_{2} \\ \end{matrix} \right]={a}_{1}{b}^{1}+{a}_{2}{b}^{2}=c \\ \end{align} \right.

上式说明无论矢量和对偶矢量与行矩阵列矩阵是如何对应的, 最后结果都是一样的.

(2). {a}_{\mu }{M}^{\mu }_{\nu }={b}_{\nu }\to \left\{ \begin{align} & {b}_{1}={a}_{1}{M}^{1}_{1}+{a}_{2}{M}^{2}_{1} \\ & {b}_{2}={a}_{1}{M}^{1}_{2}+{a}_{2}{M}^{2}_{2} \\ \end{align} \right.

翻译到矩阵就是 $\left[ {a}_{1},{a}_{2} \right]\left[ \begin{matrix} {M}^{1}_{1} & {M}^{1}_{2} \\ {M}^{2}_{1} & {M}^{2}_{2} \\ \end{matrix} \right]=\left[ {a}_{1}{M}^{1}_{1}+{a}_{2}{M}^{2}_{1},{a}_{1}{M}^{1}_{2}+{a}_{2}{M}^{2}_{2} \right]$. ┗ 这是我们古老又传统的经典操作.

(3). 对于 $a_{\mu }{M}_{\nu }^{\mu }=b_{\nu }$ 我们以前翻译为矩阵的逻辑是什么?

当时是 {a}_{\mu }{M}_{\nu }^{\mu }={a}_{\mu }{\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={b}_{\nu } 这样先转置再说对吧? ┣ 然后再翻译矩阵: ┣ $\ \ \left[ {a}_{1},{a}_{2} \right]\left[ \begin{matrix} {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{1}_{1} & {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{1}_{2} \\ {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{2}_{1} & {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{2}_{2} \\ \end{matrix} \right]$┣ $=\left[ {a}_{1}{\left( {M}^{\text{T} \right)}^{1}_{1}+{a}_{2}{\left( {M}^{\text{T} \right)}^{2}_{1},{a}_{1}{\left( {M}^{\text{T} \right)}^{1}_{2}+{a}_{2}{\left( {M}^{\text{T} \right)}^{2}_{2} \right]$┣ $=\left[ {a}_{1}{M}_{1}^{1}+{a}_{2}{M}_{1}^{2},{a}_{1}{M}_{2}^{1}+{a}_{2}{M}_{2}^{2} \right]\to \left\{ \begin{align} & {b}_{1}={a}_{1}{M}_{1}^{1}+{a}_{2}{M}_{1}^{2} \\ & {b}_{2}={a}_{1}{M}_{2}^{1}+{a}_{2}{M}_{2}^{2} \\ \end{align} \right.$ ┣ 然而实际上假如我们考虑 $a_{\mu }{M}_{\nu }^{\mu }=M_{\nu }^{\mu }{a}_{\mu }=b_{\nu }$再用左行右列的思想的话就有: ┣ $\left[ \begin{matrix} {M}_{1}^{1} & {M}_{1}^{2} \\ {M}_{2}^{1} & {M}_{2}^{2} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {a}_{1} \\ {a}_{2} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {M}_{1}^{1}{a}_{1}+{M}_{1}^{2}{a}_{2} \\ {M}_{2}^{1}{a}_{1}+{M}_{2}^{2}{a}_{2} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {b}_{1} \\ {b}_{2} \\ \end{matrix} \right]$ ┣ 这俩做法中, 一个将矢量空间对应到行空间, 一个将矢量空间对应到列空间, ┣ 但结果却是完全一样的, 又一次说明了没这个行列空间的对应完全不影响计算结果. ┣ 事实上从 $a_{\mu }{M}_{\nu }^{\mu }=b_{\nu }$ 我们就该能看到 \left\{ \begin{align} & {b}_{1}={a}_{1}{M}_{1}^{1}+{a}_{2}{M}_{1}^{2} \\ & {b}_{2}={a}_{1}{M}_{2}^{1}+{a}_{2}{M}_{2}^{2} \\ \end{align} \right. 不是吗? ┣ 我怎么知道要把 $a_{\mu }$ 写出列矩阵呢? 因为它在方阵的右边啊. ┣ 它为啥要在方阵的右边呢? ┗ 因为虽然我们放弃了行列对应, 但并没有破坏矩阵翻译要上下指标首尾相连的逻辑.

(4). 最后一例: $a_{\nu }{M}^{\mu \nu }=b^{\mu }$.

就从重复指标求和来说, 我们可以知道 \left\{ \begin{align} & \mu =1\to {b}^{1}={a}_{1}{M}^{11}+{a}_{2}{M}^{12} \\ & \mu =2\to {b}^{2}={a}_{1}{M}^{21}+{a}_{2}{M}^{22} \\ \end{align} \right. 对吧? ┣ 那按照我们前面的说法, 强行翻译一下? ┣ 即 ${a}_{\nu }{M}^{\mu \nu }={M}^{\mu \nu }{a}_{\nu }\to \left[ \begin{matrix} {M}^{11} & {M}^{12} \\ {M}^{21} & {M}^{22} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {a}_{1} \\ {a}_{2} \\ \end{matrix} \right]\to {b}^{\mu }$┣ 算出来就是 $\left[ \begin{matrix} {M}^{11} & {M}^{12} \\ {M}^{21} & {M}^{22} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {a}_{1} \\ {a}_{2} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {a}_{1}{M}^{11}+{a}_{2}{M}^{12} \\ {a}_{1}{M}^{21}+{a}_{2}{M}^{22} \\ \end{matrix} \right]\to {b}^{\mu }$. ┗ 即有 \left\{ \begin{align} & {b}_{1}={a}_{1}{M}_{1}^{1}+{a}_{2}{M}_{1}^{2} \\ & {b}_{2}={a}_{1}{M}_{2}^{1}+{a}_{2}{M}_{2}^{2} \\ \end{align} \right., 这说明这样翻译仍然是自洽的.

(5). 可能有人会担心两个矩阵的运算会出意外, 其实不用担心这点.

因为矩阵总是可以拆解成若干行列矩阵乘积的和, 譬如说: ┣ $\left[ \begin{matrix} {M}_{11} & {M}_{12} \\ {M}_{21} & {M}_{22} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ {M}_{11},{M}_{12} \right]+\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ {M}_{21},{M}_{22} \right]$ ┣ 这么一来俩矩阵相乘总可以做如下分解: ┣ $N^{\mu \nu }{M}_{\nu \sigma }=N^{\mu \nu }\left(a_{\nu }{b}_{\sigma }+c_{\nu }{d}_{\sigma }\right)=N^{\mu \nu }{a}_{\nu }{b}_{\sigma }+N^{\mu \nu }{c}_{\nu }{d}_{\sigma }=T_{\sigma }^{\mu }$. ┣ 其中 \left\{ \begin{align} & {a}_{1}=1 \\ & {a}_{2}=0 \\ \end{align} \right., \left\{ \begin{align} & {b}_{1}={M}_{11} \\ & {b}_{2}={M}_{12} \\ \end{align} \right., \left\{ \begin{align} & {c}_{1}=0 \\ & {c}_{2}=1 \\ \end{align} \right., \left\{ \begin{align} & {d}_{1}={M}_{21} \\ & {d}_{2}={M}_{22} \\ \end{align} \right.. ┗ 于是又回到了前面描述的情况了对吧. 这里稍微提一下, $a_{\nu }{b}_{\sigma }$ 这种式子怎么看待, 没东西给你首尾相接了对吧? ┣ 然后又没矩阵给你确定它们是行还是列, 怎么办? ┣ 答案是先把它们看作张量 $a_{\nu }{b}_{\sigma }=S_{\nu \sigma }$, 然后就还是老规矩左行右列的排列成矩阵呗. ┣ 问题是 $a_{\nu }{b}_{\sigma }=b_{\sigma }{a}_{\nu }$ 但 $S_{\nu \sigma }\ne S_{\sigma \nu }$, 如何确定左右关系? ┣ 答案是看左边的 $N^{\mu \nu }$, 首尾相连要求 $a_{\nu }$ 在左. ┣ 不过你这又变回去了就没意思了, 我们要说明的是矩阵相乘可以分解为: ┣ $N^{\mu \nu }{M}_{\nu \sigma }=N^{\mu \nu }{a}_{\nu }{b}_{\sigma }+N^{\mu \nu }{c}_{\nu }{d}_{\sigma }=e^{\mu }{b}_{\sigma }+f^{\mu }{d}_{\sigma }=T_{\sigma }^{\mu }$. ┗ 至于最后的 $e^{\mu }{b}_{\sigma },f^{\mu }{d}_{\sigma }$ 的顺序就由 $N^{\mu \nu }{M}_{\nu \sigma }=T_{\sigma }^{\mu }$ 的指标来确定. 其实还有一个确定的方法, 看 $N^{\mu \nu }{a}_{\nu }{b}_{\sigma }$ 这一项: ┣ $N^{\mu \nu }{a}_{\nu }$ 是要缩并的, 所以 $a_{\nu }$ 在矩阵的右边自然是列矩阵. ┗ 缩并后它们构成 $e^{\mu }=N^{\mu \nu }{a}_{\nu }$, 而 $e^{\mu }{b}_{\sigma }$ 是不缩并的, 就还是左行右列这样排列就是了.

(6). 就算你行列对应不再限制死, 但 $N^{\mu \nu }{a}_{\nu }{b}_{\sigma }$ 中的 $a_{\nu }{b}_{\sigma }$ 明明都是对偶矢量却一个列一个行, 这样子真的没问题吗?

当然没问题, 其实你想想, $T^{\mu \nu }$ 能被写成矩阵不就说明了指标的上下跟行列毫无关系吗?

(7). 对于两个矩阵的情况总而言之就是说:

我们一开始不确定将 ${N}^{\mu \nu }{M}_{\nu \sigma }$ 翻译为 $\left[ \begin{matrix} {N}^{11} & {N}^{12} \\ {N}^{21} & {N}^{22} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {M}_{11} & {M}_{12} \\ {M}_{21} & {M}_{22} \\ \end{matrix} \right]$ 是否合理, ┣ 但我们很清楚 $M_{\nu \sigma }=a_{\nu }{b}_{\sigma }+c_{\nu }{d}_{\sigma }$ 是合理的操作, 也可以翻译到矩阵. ┣ 而这样分解出来的 $N^{\mu \nu }{a}_{\nu }{b}_{\sigma }$ 与 $N^{\mu \nu }{c}_{\nu }{d}_{\sigma }$ 是我们熟知的操作, 也可以翻译到矩阵. ┣ 它可以进一步化为 $e^{\mu }{b}_{\sigma }+f^{\mu }{d}_{\sigma }$, 而这, 我们太懂了, 当然, 它也可以翻译到矩阵. ┣ 所以总的来说 ${N}^{\mu \nu }{M}_{\nu \sigma }$ 翻译为 $\left[ \begin{matrix} {N}^{11} & {N}^{12} \\ {N}^{21} & {N}^{22} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {M}_{11} & {M}_{12} \\ {M}_{21} & {M}_{22} \\ \end{matrix} \right]$ 一定是合理的. ┗ 由此可以轻易推广到任意个任意阶矩阵连乘, 这就是标量运算的威力.

2.3. 结论:

前面的例子显然说明了我们完全没有必要将抽象的内积空间运算强行与矩阵空间做一一对应. 因为对于一个张量, 只要我们能确定它在已知基底下的全部分量, 我们就完全地掌握了这个张量的所有信息, 所以无论你怎么运算只要最后分量能给对就达到了我们的目的.

而前面的过程相当于是说, 我们将张量的运算翻译到矩阵空间, 用矩阵的运算法则来转述张量分量的运算规律, 而我们发现只要我们要求:

(1). 上下重复指标首尾相连来确定各项的相对位置. (2). 两个指标的张量按照左指标代表行右指标代表列这样排成矩阵, ┗ 然后单指标的张量根据相对于矩阵的位置与是否缩并来确定是行矩阵还是列矩阵.

就可以很顺利且正确地确定最后的结果.

由此, 矩阵表述就由底层逻辑退化到计算过程中的一种表述方式, 而指标缩并运算也确实可以毫无顾虑的作为底层逻辑.

这样一来, 就不再是研究内积空间的时候将矢量看作列矩阵而对偶矢量看作行矩阵, 而是将来在研究矩阵运算的时候, 你可以将列矩阵做作矢量, 而将行矩阵看作对偶矢量. 这是一次颠覆, 基本上等于我们在父子局里通过一顿骚操作让儿子当上了爸爸, 爸爸却变成儿子了.

以后就不是用矩阵来理解内积空间的张量运算了, 而是可以用内积空间的张量运算来解析矩阵的运算. 当然另一个目的就是可以利用矩阵的运算作为一个更自由的工具来分析张量运算.

3. 进阶玩法总结

(-1). 请务必按照 $\mu ,\nu ,\rho ,\sigma ,\tau$ 的顺序使用指标.

用完了呢? 这也能用完吗(悲), 那后面的你就随便吧, 但我建议是 $\eta ,\delta ,\epsilon ,\lambda$. ┗ 这样有啥好处呢? 没啥好处, 就是跟我统一了, 你用我的东西, 跟我统一, 不过分吧.

(0). 取了一组标准正交基 $\left\{e^1,e^2\right\}$ 内积运算将诱导出对偶基 $\left\{e_1,e_2\right\}$, 满足 $e_i{e}^j={\delta }_j^i$.

(1). 分量表示张量本身, 即分别用 \left\{ \begin{align} & {v}^{\mu } \\ & {v}_{\mu } \\ & {M}^{\mu }_{\nu } \\ \end{align} \right.来表示 \left\{ \begin{align} & \left\{ {v}^{1},{v}^{2} \right\} \\ & \left\{ {v}_{1},{v}_{2} \right\} \\ & \left\{ {M}^{1}_{1},{M}^{1}_{2},{M}^{2}_{1},{M}^{2}_{2} \right\} \\ \end{align} \right.

张量无所谓写成什么样, 只要是这些分量的集合就行了, ┣ 所以 (0,2), (2,0), (1,1) 型都一律按左行右列写成矩阵, ┗ 而 (1,0) 与 (0,1) 型单独写得话都一律写成行矩阵.

(2). 重复的指标会缩并, 或者全范围求和, 比如说 $v_{\mu }{u}^{\mu }=v_1{u}^1+v_2{u}^2$.

重复的指标可以随便换符号: $M_{\nu }^{\mu }{u}^{\nu }=M_{\rho }^{\mu }{u}^{\rho }=M_{\sigma }^{\mu }{u}^{\sigma }$. ┗ 但不要换成本项中已有的指标, 即 $M_{\nu }^{\mu }{u}^{\nu }\ne M_{\mu }^{\mu }{u}^{\mu }$, 这属于欠揍行为.

(3). 那我怎么知道你这个是分量运算的式子还是张量运算的式子呢?

即是分量运算的式子又是张量运算的式子. ┣ 打个比方这就是在用数列的通项表示数列本身, ┗ 通项看作是数列本身与看作是数列中的其中一项有什么冲突吗?

(4). 不重复的指标是张量积, 构成高阶张量比如说 $u_{\rho }{v}^{\mu }{w}^{\nu }$ 可以看作是 $T_{\rho }^{\mu \nu }$.

(5). 张量缩并会退化, 比如说 $T_{\nu }^{\mu }{a}^{\nu }=b^{\mu }$, 你可以说是 $T_{\nu }^{\mu }$ 从 (1,1) 型退化到 (1,0) 型了.

矩阵的角度也好理解, 就是矩阵作用在列矩阵上得到一个列矩阵呗. ┗ 这种一样: $T^{\mu }{{}_{\rho }^{\nu }{u}^{\rho }=T^{\prime }}^{\mu \nu }$ 但是你不好矩阵解释了, 这是从 (2,1) 型退化到 (2,0) 型.

(6). 张量就自己一个人偶尔也可以瞎缩并, 比如说一个 (2,1) 型张量 {A}^{\mu }{_{\nu }^{\rho }={T}^{\mu }_{\nu }{u}^{\rho }.

我们可以看出来 {A}^{\mu }{_{\nu }^{\rho } 是 $T_{\nu }^{\mu }$ 与 $u^{\rho }$ 通过张量积合成的 (2,1) 型张量. ┣ 当我们将其中上指标其中之一与下指标重复, 就发生了张量缩并. ┗ 即 {A}^{\mu }{_{\nu }^{\rho }\to {A}^{\mu }{_{\nu }^{\nu }={T}^{\mu }_{\nu }{u}^{\nu }={u}'}^{\mu } 就是 {A}^{\mu }{_{\nu }^{\rho } 从 (2,1) 型缩并到 (1,0) 型的例子. 顺带一提 (1,1), (2,0), (0,2) 型张量再缩并就是方阵求迹运算: ┣ $M_{\mu }^{\mu }=M_{\nu }^{\mu }{\delta }_{\mu }^{\nu }=\sum _{\mu ,\nu }{M}_{\nu }^{\mu }{\delta }_{\mu }^{\nu }=\sum _{\mu }{M}_{\mu }^{\mu }=M_1^1+M_2^2=\text{tr}M$. ┣ 这里专门引入一个 ${\delta }_{\mu }^{\nu }$ 只是提醒一下公式可能还有其他可能性. ┣ 比如说系统里有互逆的方阵满足 $A_{\nu }^{\mu }{B}_{\rho }^{\nu }={\delta }_{\rho }^{\mu }$ 那还可以进一步写为下面 ┗ $M_{\mu }^{\mu }=M_{\nu }^{\mu }{\delta }_{\mu }^{\nu }=M_{\nu }^{\mu }{A}_{\rho }^{\nu }{B}_{\mu }^{\rho }$ 这种形式也是合法的.

(6*). 如果有特殊需求的话, 上上指标缩并或者下下指标缩并也并不是那么不可接受的.

(7). 你可以通过观察缩并后的等式两边指标是否平衡来检查是否有书写错误.

比如说 $A^{\mu \nu }{B}_{\rho \sigma }^{\tau }{v}_{\tau }{u}^{\sigma }=T_{\rho }^{\mu \nu }$ 就是准确无误的.

(8). $v^{\mu },v^{\nu }$ 都表示同一个矢量, $T_{\nu \rho }^{\mu },T_{\tau \mu }^{\sigma }$ 表示同一个张量, 重要的只是重复了的指标.

但你不要出现 $v^{\mu }=v^{\nu }$ 这种式子, 这对我们将来检查指标平衡很不利, ┣ 同理 $v^{\mu }+u^{\mu }=w^{\nu }$ 这种式子就是有毒的, 你必须写成 $v^{\mu }+u^{\mu }=w^{\mu }$. ┗ 总之就是虽然你分开写它们是一回事, 但在等式中要保证指标平衡.

(9). 这个记号下各个张量分量可以随便调换位置, 因为反正指标缩并已经指出作用模式了,

只 要 当 作 分 量 计 算 即 可(因为本来就是分量运算) ┗ 比如 $A^{\mu \nu }{B}_{\rho \sigma }^{\tau }{v}_{\tau }{u}^{\sigma }=v_{\tau }{A}^{\mu \nu }{u}^{\sigma }{B}_{\rho \sigma }^{\tau }$ 或者 $v^{\mu }{v}_{\mu }=v_{\mu }{v}^{\mu }$ 或者 ${\alpha }^{\mu }{\beta }_{\nu }={\beta }_{\nu }{\alpha }^{\mu }$.

(10). 观察一个式子的时候心里可以灵活点儿, 不要很死板的就一定看作是张量运算.

实际上写的确实都是分量不是吗? ┣ 在分析的时候要知道一点, 比如说 $T_{\rho \sigma }^{\mu \nu }$ 确实是 (2,2) 型张量的分量, ┗ 但我在心里把 $\mu ,\rho$ 固定的话其实也可以看作是一个矩阵, 这个很难讲清楚, 多算多感悟吧.

(11). 矩阵翻译要上下重复指标首尾相连 $y_{\mu }{\Lambda }_{\nu }^{\mu }{x}^{\nu }=x^{\nu }{\Lambda }_{\nu }^{\mu }{y}_{\mu }\to x\Lambda y$.

先上下重复指标首尾相连来确定各项的相对位置. ┣ 然后两个指标的张量按照左指标代表行右指标代表列这样排成矩阵, ┗ 最后单指标的张量根据相对于矩阵的位置与是否缩并来确定是行矩阵还是列矩阵.

(12). $\text{tr}\left(AB\right)\to {\left(AB\right)}_{\mu }^{\mu }=A_{\nu }^{\mu }{B}_{\mu }^{\nu }$ 你感觉靠谱吗?

当然靠谱, $A_{\nu }^{\mu }{B}_{\rho }^{\nu }=T_{\rho }^{\mu }$ 总是能认同的吧? 那其实 $T$ 不就是 $AB$ 吗? ┗ 这样一来 $\text{tr}\left(AB\right)=\text{tr}\left(BA\right)$ 这个结论就很显然了.

第四章直接照搬的 [此文] 中的第四章, 如果直接看不懂的话建议去看看原文.

4. 固定的指标结构与对偶空间对应的伴随对象

4.1. 指标结构的绝对固定性:

考虑 (1,1) 型张量 $M\to M_{\nu }^{\mu }$, 请问 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu } 是什么?

是张量 $M$ 的分量 $M_{\nu }^{\mu }$ 构成的矩阵的转置矩阵 {M}^{\text{T} 的 $\mu$ 行 $\nu$ 列上的分量吗? ┗ 你硬是这么认为其实也很难发现错误, 因为时常能碰巧对上, 但实际上并非如此. 事实上当我们确定了张量的指标结构 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 后, ┣ 转置矩阵 {M}^{\text{T}\to {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } 的指标结构就也随之确定了. ┣ 所以张量 $M$ 的分量 $M_{\nu }^{\mu }$ 构成的矩阵的转置矩阵的 $\mu$ 行 $\nu$ 列分量是 {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }. ┣ 而 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu } 则是一个不伦不类的东西, 你需要度规来升降它的指标, ┣ 即 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma }, 这样一来三项就都是熟知的东西了. ┣ 如果你的度规就是单位阵, 那么就会出现好像 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } 的情况. ┗ 这个问题如果不重视的话在闵可夫斯基时空中有可能会吃苦头(详 **[[click here](https://zhuanlan.zhihu.com/p/365457613)]**). 顺带一提, 确定了张量的指标结构 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 后, ┗ 逆矩阵的指标结构确定为 $M^{-1}\to {\left(M^{-1}\right)}_{\nu }^{\mu }$, 是和原结构相同的. 实际上最初指定 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 也是必然的, 这源于要求翻译成矩阵的过程遵循指标接力.

4.2. 对偶空间的伴随式:

在 QM 里我们有等价关系 $|B⟩=M|A⟩\Leftarrow =\Rightarrow ⟨B|=⟨A|M^{†}$.

这两个等式是可以根据对偶空间之间的确定同构映射相互推出的, 称二者互为伴随式.

通过转置是通常[1]是得不到与原式对偶的伴随式的.

具体而言就是由 $M_{\nu }^{\mu }{A}^{\nu }=B^{\mu }$ 无法推出 {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }={B}_{\mu }. 要得到伴随式需要的是厄米共轭对象: $M_{\nu }^{\mu }{A}^{\nu }=B^{\mu }\Leftarrow =\Rightarrow {\left(M^{†}\right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }=B_{\mu }$. ┣ 其中[[2]](#ref_2) ${A}_{\nu }\equiv {\left( {A}^{\dagger } \right)}_{\nu }=\left\{ \begin{align} & {\left( {A}^{\nu } \right)}^{*}\ \\ & {\eta }_{\rho \nu }{A}^{\rho } \\ \end{align} \right.$, 而 ${\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\nu }_{\mu }={M}_{\mu }^{\nu }=\left\{ \begin{align} & {\left( {M}^{\mu }_{\nu } \right)}^{*} \\ & {\eta }^{\nu \sigma }{\eta }_{\mu \rho }{M}^{\rho }_{\sigma }. \\ \end{align} \right.\$ ┗ 这就是量子力学中的 $|B⟩=M|A⟩\Leftarrow =\Rightarrow ⟨B|=⟨A|M^{†}$. 结论 ${M}^{\mu }_{\nu }{A}^{\nu }={B}^{\mu }\Rightarrow {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\nu }_{\mu }{A}_{\nu }={B}_{\mu }$ 的正确性验证如下[[3]](#ref_3): ┣ 内积空间: ${\left(M^{†}\right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }={\left(M_{\nu }^{\mu }\right)}^{\ast }{\left(A^{\nu }\right)}^{\ast }={\left(M_{\nu }^{\mu }{A}^{\nu }\right)}^{\ast }={\left(B^{\mu }\right)}^{\ast }=B_{\mu }$. ┗ 度规空间: ${\left(M^{†}\right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }={\eta }^{\nu \sigma }{\eta }_{\mu \rho }{M}_{\sigma }^{\rho }{\eta }_{\tau \nu }{A}^{\tau }={\eta }_{\mu \rho }{M}_{\sigma }^{\rho }{A}^{\sigma }={\eta }_{\mu \rho }{B}^{\rho }=B_{\mu }$.

关于 {A}_{\nu }={\left( {A}^{\dagger } \right)}_{\nu }=\left\{ \begin{align} & {\left( {A}^{\nu } \right)}^{*}\ \\ & {\eta }_{\rho \nu }{A}^{\rho } \\ \end{align} \right. 的解释如下:

厄米共轭矢量被定义为对偶空间的伴随式, 即对 $A\in V$ 定义 $A^{†}\equiv A^{\ast }\in V^{\ast }$. ┣ 所以在内积空间二者分量差一个复共轭: $A_{\mu }\equiv {\left(A^{†}\right)}_{\mu }\equiv {\left(A^{\ast }\right)}_{\mu }={\left(A^{\mu }\right)}^{\ast }$. ┣ 而度规空间中的对偶矢量被定义为 $A^{\ast }\equiv \eta \left(A,\cdot \right)$, 这与内积空间的 $A^{\ast }\equiv ⟨A,\cdot ⟩$ 类似. ┗ 由对偶矢量的定义直接可知 $A_{\mu }\equiv {\left(A^{†}\right)}_{\mu }\equiv {\left(A^{\ast }\right)}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu }$. 由 $A\to A^{\mu },A^{†}\equiv A^{\ast }\to A_{\mu }$ 可以看出分量指标的上下移动是到对偶空间的一大特征.

4.3. 对偶空间中对应的伴随对象一律用 $†$ 标记:

在这个符号体系中, 我们将任意对象 $M$ 在其对偶空间中对应的伴随对象均记作 $M^{†}$.

这样做是为了与量子力学中的记号完全一致.

对于矢量与对偶矢量, 它们通过的分量的上下标就足以区分彼此, 故略去 $†$ 符号.

对于 (1,1) 型张量 $M\to M_{\nu }^{\mu }$:

在内积空间中为了与量子力学的格式完全一致, 我们定义 $M^{†}$ 为 $M$ 的转置共轭, ┣ 即 ${M}^{\dagger }\to {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={\left[ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } \right]}^{*}={\left( {M}^{\nu }_{\mu } \right)}^{*}$ ┣ 而共轭在前文中就是指标的上下对调, 故也可定义 $M_{\nu }^{\mu }\equiv {\left(M_{\mu }^{\nu }\right)}^{\ast }={\left(M^{†}\right)}_{\nu }^{\mu }$. ┗ 复共轭的升降指标定义是为了后面能与度规空间中的设定完全一致而提出的. 在度规空间中, 所有的设定都是与内积空间类似的, 而升降指标由取复共轭改为度规作用. ┣ 即 {M}^{\dagger }\to {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={g}^{\mu \rho }{g}_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma }={g}^{\mu \rho }{g}_{\nu \sigma }{M}^{\sigma }_{\rho }. ┗ 而度规是可以用来升降指标的, 于是就有 $M_{\nu }^{\mu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\rho }^{\sigma }={\left(M^{†}\right)}_{\nu }^{\mu }$. 这样的设定是不会有问题的, 因为 (1,1) 型张量 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 的指标结构是固定的. ┗ 所以 $M_{\mu }^{\nu }$ 这样的东西一开始就没有定义, 现在我们只是定义了 $M_{\mu }^{\nu }\equiv {\left(M^{†}\right)}_{\mu }^{\nu }$.

这些设定的合理性, 我们在 4.2. 中已经验证过了.

同时这也与 4.1. 中提到的 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma } 是兼容的. 最后就是你会发现 {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }, 而这实际上是合理的. ┗ 因为这并不表明 ${M}^{\dagger }={M}^{\text{T}$, 因为 ${\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }$ 本质上是 ${\left[ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } \right]}^{*}$, 即转置共轭.

4.4. 总结:

内积空间的一阶张量有 \left\{ \begin{align} & A\in V,\ {A}^{\dagger }\equiv {A}^{*}\equiv \left\langle A,\cdot \right\rangle \in {V}^{*} \\ & {A}_{\mu }={\left( {A}^{\dagger } \right)}_{\mu }={\left( {A}^{\mu } \right)}^{*} \\ & {\left( {A}^{\text{T} \right)}^{\mu }={A}^{\mu } \\ & {\left( {A}^{\text{T} \right)}_{\mu }={\left[ {\left( {A}^{\dagger } \right)}^{\text{T} \right]}_{\mu }={A}_{\mu }={\left( {A}^{\mu } \right)}^{*} \\ \end{align} \right.

度规空间的一阶张量有 \left\{ \begin{align} & A\in V,\ {A}^{\dagger }\equiv {A}^{*}\equiv \eta A\in {V}^{*} \\ & {A}_{\mu }={\left( {A}^{\dagger } \right)}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu } \\ & {\left( {A}^{\text{T} \right)}^{\mu }={A}^{\mu } \\ & {\left( {A}^{\text{T} \right)}_{\mu }={\left[ {\left( {A}^{\dagger } \right)}^{\text{T} \right]}_{\mu }={A}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu } \\ \end{align} \right.

内积空间的 (1,1) 型张量有 \left\{ \begin{align} & M\to {M}^{\mu }_{\nu },\ {M}^{\text{T}\to {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu },\ {M}^{\dagger }\to {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu } \\ & {\left( {M}_{\mu }^{\nu } \right)}^{*}={M}^{\mu }_{\nu } \\ & {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }={M}^{\nu }_{\mu } \\ & {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\left( {M}^{\nu }_{\mu } \right)}^{*} \\ & {\left[ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } \right]}^{*}={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\left( {M}^{\nu }_{\mu } \right)}^{*} \\ \end{align} \right.

度规空间的 (1,1) 型张量有 \left\{ \begin{align} & M\to {M}^{\mu }_{\nu },\ {M}^{\text{T}\to {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu },\ {M}^{\dagger }\to {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu } \\ & {\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\rho }^{\sigma }={M}^{\mu }_{\nu } \\ & {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }={M}^{\nu }_{\mu } \\ & {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\eta }_{\nu \sigma }{\eta }^{\mu \rho }{M}^{\sigma }_{\rho } \\ & {\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma }={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\eta }_{\nu \sigma }{\eta }^{\mu \rho }{M}^{\sigma }_{\rho } \\ \end{align} \right.

总之就是两条结论:

(1). 取复共轭后所有指标上下对调, 在度规空间中则用度规作用代替复共轭. (2). 取对偶空间的伴随式等价于转置后取复共轭, 在度规空间中则用度规作用代替复共轭.

5. 把基矢也加入求和约定?

就在我们的系统里面已经表达的很清楚了, 有一个矢量空间 $V$, 里面的元素都是矢量.

而我们在空间中选择了一组基矢比如说 $\left\{e^1,e^2,e^3\right\}$. ┗ 这样任何一个矢量 $v\in V$ 都可以表达为基矢的线性组合即 $v=\sum _{\mu =1}^3{v}^{\mu }{e}^{\mu }$.

然后还有一个对偶矢量空间 $V^{\ast }$, 里面的元素都是对偶矢量.

根据前面选择的矢量空间的基矢, 自然会定好对偶空间的对偶基矢 $\left\{e_1,e_2,e_3\right\}$. ┗ 这样任何一个对偶矢量 $w\in V^{\ast }$ 都可以表达为对偶基矢的线性组合 $w=\sum _{\mu =1}^3{w}_{\mu }{e}_{\mu }$.

接着我们有一个缩并的求和约定, 规定 $v^{\mu }{w}_{\mu }=\sum _{\mu =1}^3{v}^{\mu }{w}_{\mu }$, 为我们减少了很多负担.

那么很自然地, 一定会有人想问这样一个问题:

能不能把基矢记为 $\left\{e_1,e_2,e_3\right\}$ 而对偶基矢记成 $\left\{e^1,e^2,e^3\right\}$? ┣ 这样一来任何一个矢量 $v\in V$ 岂不是就直接能写成 $v=v^{\mu }{e}_{\mu }$ 了吗? ┗ 然后任何一个对偶矢量 $w\in V^{\ast }$ 也可以直接写为 $w=w_{\mu }{e}^{\mu }$ 了, 这不是超爽?

如果你问我的话, 我会说确实是可以这么做的, 我就经常这么做, 尤其是用泡利算符当基底时.

对初心者而言, 就暂且不推荐把基矢扯进来, 因为大部分计算其实都不会涉及到基矢.

但如果你一定要这么做, 那就要求你脑子里对这个结构有一个清晰的认识了.

你必须很确定哪些是数域上的数, 即 $v^{\mu },w_{\mu }$ 这些都是数域上的数字.

然后你必须很清楚哪些是矢量, 即基矢与基矢的线性组合.

例如前面的 $v=v^{\mu }{e}_{\mu }$ 中的 $v$ 与 $e_{\mu }$ 是地位相等的, 它们都是矢量.

最后你必须很清楚哪些是对偶矢量, 即对偶基矢与其线性组合.

例如前面的 $w=w_{\mu }{e}^{\mu }$ 中的 $w$ 与 $e^{\mu }$ 是地位相等的, 它们都是对偶矢量.

总之, 只要你能保证别把 $v^{\mu },w_{\mu },e^{\mu },e_{\mu }$ 弄混了的话, 那随你怎么玩都没问题.

真上战场的话, 可能记号上就没这么好区分了, 基矢可能是任何东西, 不一定会用字母 $e$.

Anyway, It's up to you.

哦对了, 就你可能还会这么想:

我们给矢量与对偶矢量再添一些特殊符号来将它们与数区分不就好了吗? ┣ 比如说矢量都都上箭头 \vec{v},{\vec{e}_{1}, 然后对偶矢量都带下箭头 \underset{\raise0.3em\hbox{\smash{\scriptscriptstyle\rightarrow}}{v},{\underset{\raise0.3em\hbox{\smash{\scriptscriptstyle\rightarrow}}{e}^{1}, ┣ 然后分量 $v^{\mu },w_{\mu }$ 没箭头之类的, 这样不就能分清楚了吗? ┣ 那我只能说 naive, 因为后面我们的系统会复杂到经常需要用矩阵当矢量, ┣ 然后在这个矩阵当矢量的矢量空间里面的线性变换又是一个矩阵, ┣ 然后这个矩阵完全也可以作为矢量又构成一层线性空间. ┣ 那么问题就来了, 究竟谁是矢量? 什么是矢量? 什么是数? 什么又是矩阵? ┗ 这就都是相对的了, 完全取决于你的观点了, 所以别太依赖符号, 终究还是脑子要清醒.

我当年就跟我的老师说我想发明一套完美融洽多个物理体系的记号,

他说:"玩玩当作练习是可以, 但这绝对是在白费力气, 不可能统一的. "

我当时是不信的, 后面我接触了更多的代数知识之后还是信邪了,

你无法想象后面的事物有多抽象, 但好消息是, 都不难, 只要学下去就能自然地学下去.

参考

• ^如果度规是 diag(1,1,1,1) 或者是实内积空间的话就碰巧能对上罢.
• ^后面会解释原因.
• ^反向验证也是类似的.